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Operaciones entre vectores

1. 2u-3v+w

u={3,-1,2};
v={-2,4,1};
w={1,0,-3};
2*u-3*v+w

2. 3a+2b

a={1,2,-1,3};
b={2,-1,0,1};
3*a+2*b

3. (5,-3,7) como combinación lineal

vector={5,-3,7};
i={1,0,0};j={0,1,0};k={0,0,1};
5*i-3*j+7*k==vector

4. Determine α y β

eq1=2*α+5*β==1; 
eq2=-3*α+β==-10;
eq3=4*α-2*β==14;
Solve[{eq1,eq2,eq3},{α,β}]

5. Verifique si los vectores u=(1,2,1),v=(2,1,0) y w=(1,-1,-1) son linealmente independientes

u={1,2,1};
v={2,1,0};
w={1,-1,-1};
Solve[{α u+β v==w},{α,β}]

6. Calcule ||p||, ||q|| y el vector unitario en dirección de p

p={4,-3,12};
q={1,2,-2};
normaP=Norm[p]
normaQ=Norm[q]
vectorUnitarioP=p/Norm[p]

7. Calcule a·b y el ángulo entre los vectores

a={2,-1,3};
b={1,4,-1};
productoEscalar=a.b
cosTheta=productoEscalar/(Norm[a]*Norm[b])
anguloRad=ArcCos[cosTheta]
anguloGrados=anguloRad*180/Pi//N

8. Proyección

u={3,1,-2};
v={1,1,1};
proyeccion=((u.v)/(v.v))*v

9. Calcule (a×b)·c y el volumen

a={1,2,-1};
b={2,0,3};
c={-1,1,2};
productoVectorial=Cross[a,b]
productoMixto=productoVectorial.c
volumen=Abs[productoMixto]

10. Encuentre un vector x tal que x·(1,2,1)=5, x·(2,-1,1)=3 y ||x|| =3

eq1=x1+2*x2+x3==5;
eq2=2*x1-x2+x3==3;
eq3=x1^2+x2^2+x3^2==9;
solucion10=Solve[{eq1,eq2,eq3},{x1,x2,x3},Reals]

Productos escalares y determine ortogonalidad

1. Calcule el producto escalar de u=(2,-3,1) y v=(4,1,-2)

u={2,-3,1};
v={4,1,-2};
u.v

2. Determine si los vectores p=(3,2,-1) y q=(1,-2,4) son ortogonales

p={3,2,-1};
q={1,-2,4};
p.q

3. Calcule la norma de v=(-1,3,2,-2)

v={-1,3,2,-2};
Norm[v]

4. Encuentre un vector unitario

w={6,-8,0};
Norm[w]
w/Norm[w]

5. Calcule el ángulo entre los vectores a=(1,2,2) y b=(2,-1,2)

a={1,2,2};
b={2,-1,2};
a.b
Norm[a]
Norm[b]
ArcCos[(a.b)/(Norm[a]*Norm[b])]*180/Pi//N

6. Encuentre un vector ortogonal

u={1,2,-1};
v={3,0,2};
Cross[u,v]

7. Determine el valor de k

Clear[k]
Solve[2*k+k*(-1)+1*3==0,k]

8. Verifique si el conjunto {(1,1,0),(1,-1,1),(1,1,-2)} es ortogonal

v1={1,1,0};
v2={1,-1,1};
v3={1,1,-2};
{v1.v2,v1.v3,v2.v3}
{Norm[v1],Norm[v2],Norm[v3]}

9. Dado u=(2,-1,3), encuentre la componente de u ortogonal al vector v=(1,1,1)

u={2,-1,3};
v={1,1,1};
projv=((u.v)/(v.v))*v
u-projv

10. Demuestre

e1=(1/Sqrt[3])*{1,1,1};
e2=(1/Sqrt[2])*{1,-1,0};
e3=(1/Sqrt[6])*{1,1,-2};
{Norm[e1],Norm[e2],Norm[e3]}
{e1.e2,e1.e3,e2.e3}

Calcule ángulos y proyecciones

1. Ángulo entre vectores

u1={1,1,0};
v1={1,0,1};
cosTheta1=u1.v1/(Norm[u1]*Norm[v1])
angle1=ArcCos[cosTheta1]*180/Pi

2. Proyección de vector

a={3,1,-2};
b={2,1,0};
projBA=(a.b/b.b)*b

3. Cosenos directores

v={2,3,6};
normV=Norm[v]
cosenosDirectores=v/normV

4. Vector con magnitud específica

u={4,-2,1};
normU=Norm[u]
vectorMagnitud10=10*u/normU

5. Valor de k para ángulo de 90°

va={1,2,k};
vb={2,1,-1};
productoEscalar=va.vb
solucionK=Solve[productoEscalar==0,k]

6. Componente perpendicular

u={5,-1,3};
v={1,1,1};
projVU=(u.v/v.v)*v
componentePerpendicular=u-projVU

7. Ángulo agudo entre vectores

a={1,-1,2};
b={3,1,0};
cosTheta=Abs[a.b]/(Norm[a]*Norm[b])
angle=ArcCos[cosTheta]*180/Pi//N

8. Normas de proyecciones

u={2,1,-1};
v={1,-3/5,2};
productoEscalar=u.v
normProjVU=Abs[productoEscalar]/Norm[v]
normProjUV=Abs[productoEscalar]/Norm[u]

9. Vector unitario con ángulos iguales

Sea v=(x,y,z) el vector unitario buscado. Los cosenos directores son las componentes del vector unitario: cos α=x, cos β=y, cos γ=z. Luego: x²+y²+z²=1. Sabemos que cos α=cos β=cos γ. Esto significa:x=y=z. Entonces: x²+x²+x²=1, 3x²=1, x=±1/(Sqrt[3]). De donde: x=1/(Sqrt[3]),
y=1/(Sqrt[3]) y z=1/(Sqrt[3]).

vectorUnitario={1,1,1}/Sqrt[3]
i={1,0,0};j={0,1,0};k={0,0,1};
anguloConI=ArcCos[vectorUnitario.i]*180/Pi//N
anguloConJ=ArcCos[vectorUnitario.j]*180/Pi//N
anguloConK=ArcCos[vectorUnitario.k]*180/Pi//N

10. Ángulo complejo con proyección

a={1,0,1};
b={1,1,0};
c={0,1,1};
projCB=(b.c/c.c)*c
bPerpC=b-projCB
cosTheta=a.bPerpC/(Norm[a]*Norm[bPerpC])
angle=ArcCos[cosTheta]*180/Pi//N

Calcule productos vectoriales

1. Producto vectorial básico

u={2,1,-1};
v={1,-2,3};
Cross[u,v]

2. Verificar ortogonalidad

a={1,0,2};
b={3,1,-1};
crossProduct=Cross[a,b]
a.crossProduct
b.crossProduct

3. Área del paralelogramo

u={2,1,0};
v={1,3,-1};
crossProduct=Cross[u,v]
area=Norm[crossProduct]

4. Producto vectorial triple

u={1,0,1};
v={2,1,-1};
w={0,1,2};
vCrossW=Cross[v,w]
result=Cross[u,vCrossW]

5. Área del triángulo

A={1,0,2};
B={3,1,0};
c={2,-1,3};
AB=B-A
AC=c-A
crossProduct=Cross[AB,AC]
areaTriangle=Norm[crossProduct]/2

6. Vector unitario perpendicular

p={1,2,1};
q={2,-1,0};
crossProduct=Cross[p,q]
unitVector=crossProduct/Norm[crossProduct]

7. Volumen del paralelepípedo

a={1,1,0};
b={0,1,1};
c={1,0,1};
bCrossC=Cross[b,c]
volumen=Abs[a.bCrossC]

8. Verificación de identidad

a={2,1,-1};
b={1,0,2};
c={3,-1,1};
aCrossB=Cross[a,b]
bCrossC=Cross[b,c]
leftSide=aCrossB.c
rightSide=a.bCrossC

9. Vectores coplanares

Clear[k]
v1={1,k,-2};
v2={-k,1,0};
v3={-2,k,k};
det=Det[{v1,v2,v3}]
equation=det==0
solutions=Solve[equation,k,Reals]

10. Sistema de ecuación vectorial

u={1,2,-1};
v={2,0,1};
dotProduct=u.v

Como u · v ≠ 0, no existe solución para u × w = v

Problemas de geometría analítica

1. Área del triángulo

A={1,2,3};
B={2,0,1};
c={3,1,0};
AB=B-A;
AC=c-A;
crossProduct=Cross[AB,AC];
area=Norm[crossProduct]/2

2. Volumen del tetraedro

P={1,1,1};
Q={2,1,3};
R={1,0,2};
S={3,2,1};
PQ=Q-P;
PR=R-P;
PS=S-P;
volumen=Abs[Det[{PQ,PR,PS}]]/6

3. Puntos colineales

A={1,2,0};
B={3,1,4};
c={0,1,-2};
AB=B-A;
AC=c-A;
crossProduct=Cross[AB,AC]
isCollinear=Norm[crossProduct]==0

4. Distancia punto a recta

P={1,2,-1};
Q={2,0,1};
v={1,1,-1};
QP=P-Q;
crossProduct=Cross[QP,v];
distance=Norm[crossProduct]/Norm[v]

5. Distancia punto a plano

P={2,-1,3};
normalVector={2,-1,2};
d=9;
distance=Abs[normalVector.P-d]/Norm[normalVector]

6. Ángulo entre planos

normala={1,1,-1}; 
normalb={2,-1,1}; 
dotProduct=normala.normalb;
cosTheta=Abs[dotProduct]/(Norm[normala]*Norm[normalb]);
angle=ArcCos[cosTheta]*180/Pi

7. Intersección recta-plano

t=Solve[1+2*t-1-t+t==2,t][[1,1,2]];
intersection={1+2*t,-1-t,t}

8. Distancia entre rectas

Clear[t]
Pa={1,0,1};
da={1,1,0};
Pb={0,1,2};
db={-5,-5,0};
Solve[Pa+t da==Pb+s db,{t,s}](* Las rectas son paralelas *)
dist=Norm[Cross[da,Pb-Pa]]/Norm[da]

9. Plano perpendicular a intersección

normala={1,1,-1};
normalb={2,-1,1};
direccionInterseccion=Cross[normala,normalb];
punto={2,1,-1};
ecuacionPlano=Expand[direccionInterseccion.({x,y,z}-punto)]==0

10. Ecuación de la esfera

puntos={{1,0,0},{0,1,0},{0,0,1},{0,0,0}};
vars={h,k,l,r};
ecuaciones=Table[(puntos[[i,1]]-h)^2+(puntos[[i,2]]-k)^2+(puntos[[i,3]]-l)^2==r^2,{i,1,4}]
solucion=Solve[ecuaciones,vars][[1]]
centro={h,k,l}/. solucion
radio=r/. solucion

Ecuaciones de rectas y planos

1. Ecuaciones paramétricas de recta

P1={2,-1,3};
P2={4,1,0};
vectorDirector1=P2-P1
P1+t vectorDirector1

2. Ecuación del plano

punto={1,0,2};
normal={2,-1,3};
constante=normal.punto;
normal.{x,y,z}==constante

3. Intersección de planos

Solve[{x-z==2,2x+z==1}]

normala={1,1,-1};
normalb={2,-1,1};
direccion=Cross[normala,normalb]
puntoInterseccion={1,0,-1};
puntoInterseccion+t direccion

4. Distancia punto a plano

punto={2,1,-1};
normal={3,-1,2};
d=4;
distancia=Abs[normal.punto-d]/Norm[normal]

5. Ángulo entre planos

normala={1,2,-1};
normalb={2,-1,2};
cosAngulo=Abs[normala.normalb]/(Norm[normala]*Norm[normalb])
angulo=ArcCos[cosAngulo]*180/Pi//N

6. Distancia entre rectas

Pa={1,0,1};
da={1,1,0};
Pb={2,1,0};
db={0,1,1};
Pa+s da==Pb+t db
Solve[Pa+t da==Pb+s db,{t,s}] (* Las rectas son alabeadas *)
Abs[(Pb-Pa).Cross[da,db]]/Norm[Cross[da,db]]

7. Plano que contiene recta

puntoRecta={1,-1,0};
direccionRecta={2,1,-1};
puntoExterno={3,0,2};
vectorAdicional=puntoExterno-puntoRecta;
normalPlano=Cross[direccionRecta,vectorAdicional];
constantePlano=normalPlano.puntoExterno;
normalPlano.{x,y,z}==constantePlano

8. Intersección recta-plano

puntoRecta={2,1,-1};
direccionRecta={1,-1,2};
ecuacionParametro=2+t+1-t+(-1)+2*t==4;
solucionT=Solve[ecuacionParametro,t][[1,1,2]];
puntoInterseccion=puntoRecta+solucionT*direccionRecta

9. Proyección ortogonal de recta sobre plano

P[t_]:={1+t,t,2+t};
vn={1,-1,1};
λ[t_]:=λ/. Solve[(P[t]-λ n).n==3,λ][[1]];
Q[t_]:=P[t]-λ[t] vn
Simplify[Q[t]]

10. Recta perpendicular a dos rectas

puntoFinal={1,2,3};
direcciona={1,0,1}; 
direccionb={2,1,-1};
direccionPerpendicular=Cross[direcciona,direccionb]
puntoFinal+t direccionPerpendicular