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Concepto de espacio vectorial

1. V = R^4 con (x1,x2,x3,x4) ⊕ (y1,y2,y3,y4) = (x1+y1, x2+y2, x3+y3, x4+y4) y k ⊙ (x1,x2,x3,x4) = (k x1, k x2, k x3, 0). ¿Es (V, ⊕, ⊙) un espacio vectorial?

No es un espacio vectorial. Falla el axioma 1 ⊙ v = v. Por ejemplo, 1 ⊙ (1,2,3,4) = (1,2,3,0) ≠ (1,2,3,4).

2. V = M3(R) con A ⊕ B = A + B − I (I es la matriz identidad) y k ⊙ A = k A − (k−1) I. ¿Es (V, ⊕, ⊙) un espacio vectorial?

Sí es un espacio vectorial. El neutro es I, el inverso de A es 2 I − A, y todos los axiomas se verifican con estas operaciones modificadas.

3. V = P4(R) con suma usual (p+q)(x) = p(x) + q(x) y multiplicación modificada (k ★ p)(x) = k p(x) + (k−1). ¿Es (V, +, ★) un espacio vectorial?

No es un espacio vectorial. Falla la distributividad respecto a vectores: k ★ (p+q) = k (p(x) + q(x)) + (k−1), mientras que (k ★ p) + (k ★ q) = k p(x) + (k−1) + k q(x) + (k−1) = k (p(x) + q(x)) + 2 (k−1). Las expresiones no coinciden.

4. V = R^5 con (x1,...,x5) ⊕ (y1,...,y5) = (x1+y1+1, x2+y2, x3+y3, x4+y4, x5+y5) y k ⊙ (x1,...,x5) = (k x1 + k − 1, k x2, k x3, k x4, k x5). ¿Es (V, ⊕, ⊙) un espacio vectorial?

Sí es un espacio vectorial. El neutro es (−1,0,0,0,0), y el inverso de (x1,...,x5) es (−x1−2, −x2, −x3, −x4, −x5). Todos los axiomas se cumplen.

5. V = M4(R) con A ⊕ B = A + B + 2 I (I identidad 4×4) y k ⊙ A = k A + 2 (k−1) I. ¿Es (V, ⊕, ⊙) un espacio vectorial?

Sí es un espacio vectorial. El neutro es −2 I, el inverso de A es −A − 4 I, y se verifican todos los axiomas. Por ejemplo: A ⊕ (−2 I) = A; (k+m) ⊙ A = (k ⊙ A) ⊕ (m ⊙ A).

Concepto de subespacio vectorial

1. W = {(x, y, z, w) ∈ ℝ^4 : 2x - 3y + z = 0 y x + y - 2w = 0} en ℝ^4

Sí es un subespacio vectorial. El conjunto contiene al vector cero (0,0,0,0), es cerrado bajo la suma (si dos vectores satisfacen ambas ecuaciones  , su suma también las satisface) y es cerrado bajo la multiplicación por escalar.

2. W = {p(x) ∈ 𝒫₅(ℝ) : p’(1) = 0} en 𝒫₅(ℝ)

Sí es un subespacio vectorial. El polinomio cero satisface la condición, y si p’(1)=0 y q’(1)=0 entonces (p+q)’(1)=0 y (k p)’(1)=0 para cualquier escalar k.

3. W = { {{a,b,c},{d,e,f},{g,h,i}} ∈ M₃(ℝ) : a + e + i = b + d } en M₃(ℝ)

Sí es un subespacio vectorial. La matriz cero satisface la igualdad. La suma de matrices que cumplen la condición también la cumple, y el producto por escalar preserva la relación lineal.

4. W = {(x, y, z) ∈ ℝ³ : x² + y² = z²} en ℝ³

No es un subespacio vectorial. No es cerrado bajo la suma: por ejemplo, (1,0,1) y (0,1,1) pertenecen a W, pero su suma (1,1,2) no cumple 1² + 1² = 2².

5. W = {{a,b},{c,d}} ∈ M₂(ℝ) : ad - bc = 1 en M₂(ℝ)

No es un subespacio vectorial. No contiene la matriz cero (su determinante es   0, no 1) y no es cerrado bajo la suma ni bajo el producto por escalar.

Combinación lineal

1. ¿Es (8, 1, 10, 9) combinación lineal de {(1, 2, -1, 3), (2, -1, 4, 1), (3, 1, 3, 4)} en ℝ⁴?

A={{1,2,-1,3},{2,-1,4,1},{3,1,3,4},{8,1,10,9}};
RowReduce[A]//MatrixForm
MatrixRank[A[[1;;3]]]
MatrixRank[A]

2. ¿Es 3x³ - 2x² + 5x - 1 combinación lineal de {x³ + x² - 2, 2x³ - x + 1, x² + 3x - 4} en P₃(ℝ)?

(*Matriz de coeficientes:cada fila representa los coeficientes[x³,x²,x,constante]*)A={{1,1,0,-2},{2,0,-1,1},{0,1,3,-4},{3,-2,5,-1}};
RowReduce[A]//MatrixForm
MatrixRank[A[[1;;3]]]
MatrixRank[A]

3. ¿Es la matriz (5 7 0; 3 3 4) combinación lineal de {(1 2 0; 1 1 1), (2 -1 1; 0 2 -1), (1 4 -1; 1 -1 3)} en M₂ₓ₃(ℝ)?

(*Representamos las matrices como vectores de 6 componentes*)A={{1,2,0,1,1,1},{2,-1,1,0,2,-1},{1,4,-1,1,-1,3},{5,7,0,3,3,4}};
RowReduce[A]//MatrixForm
MatrixRank[A[[1;;3]]]
MatrixRank[A]
(*Verificación de la combinación*)
2*{1,2,0,1,1,1}+1*{2,-1,1,0,2,-1}+1*{1,4,-1,1,-1,3}

4. ¿Es f(x) = eˣ combinación lineal de {sin(x), cos(x), x²} en C[0, 2π]?

(*Evaluamos en puntos específicos para verificar inconsistencia*)f[x_]:=Exp[x];
g1[x_]:=Sin[x];
g2[x_]:=Cos[x];
g3[x_]:=x^2;

(*Sistema de ecuaciones evaluando en x=0,π/2,π*)
eq1=f[0]==a*g1[0]+b*g2[0]+c*g3[0];
eq2=f[Pi/2]==a*g1[Pi/2]+b*g2[Pi/2]+c*g3[Pi/2];
eq3=f[Pi]==a*g1[Pi]+b*g2[Pi]+c*g3[Pi];

Solve[{eq1,eq2,eq3},{a,b,c}]

(*Verificación en otro punto para mostrar inconsistencia*)
sol={a->(E^(Pi/2)-(Pi^2*(1+E^Pi))/(4*Pi^2)),b->1,c->(1+E^Pi)/Pi^2};
f[1]-(a*g1[1]+b*g2[1]+c*g3[1])/. sol//Simplify

5. ¿Es x⁴ + 2x³ + x² - 4x + 6 combinación lineal de {x⁴ + 2x² - 1, x³ - x + 3, 3x⁴ - x³ + x² + 2, x² + 2x - 1} en P₄(ℝ)?

(*Matriz de coeficientes:cada fila representa[x⁴,x³,x²,x,constante]*)A={{1,0,2,0,-1},{0,1,0,-1,3},{3,-1,1,0,2},{0,0,1,2,-1},{1,2,1,-4,6}};
RowReduce[A]//MatrixForm
MatrixRank[A[[1;;4]]]
MatrixRank[A]

(*Verificación de la combinación α=1,β=2,γ=0,δ=-1*)
1*{1,0,2,0,-1}+2*{0,1,0,-1,3}+0*{3,-1,1,0,2}+(-1)*{0,0,1,2,-1}

Dependencia e independencia lineal

1. Determinar si el conjunto de vectores 
{(1, 2, 1, 3), (2, 1, -1, 1), (1, -1, 3, 2), (3, 1, 2, -1)} 
en R^4 es linealmente independiente.

v1={1,2,1,3};
v2={2,1,-1,1};
v3={1,-1,3,2};
v4={3,1,2,-1};
M={v1,v2,v3,v4};
Det[M]

2. Determinar si las matrices A1, A2 y A3 dadas son linealmente independientes en M3(R).

A1={{1,2,1},{0,1,2},{1,0,1}};
A2={{2,1,0},{1,2,1},{0,1,2}};
A3={{3,3,1},{1,3,3},{1,1,3}};
v1=Flatten[A1];
v2=Flatten[A2];
v3=Flatten[A3];
MatrixRank[{v1,v2,v3}]
Solve[α v1+β v2+γ v3==ConstantArray[0,9],{α,β,γ}]

3. Determinar si el conjunto {sin(x) cos(x), sin(x)^2, cos(x)^2, 1} es linealmente dependiente en el espacio de funciones continuas.

f={Sin[x] Cos[x],Sin[x]^2,Cos[x]^2,1};
Solve[a1 f[[1]]+a2 f[[2]]+a3 f[[3]]+a4==0,{a1,a2,a3,a4}]

4. Determinar para qué valores de a los polinomios p1 = x^2 + a x + 1, p2 = x^2 + x + a y p3 = a x^2 + x + 1 son linealmente independientes.

p1={1,a,1};
p2={1,1,a};
p3={a,1,1};
Det[{p1,p2,p3}]//Simplify//Factor
Solve[%==0]

5. Determinar si las funciones e^x, x e^x, x^2 e^x y e^(2x) son linealmente independientes.

f={Exp[x],x Exp[x],x^2 Exp[x],Exp[2 x]};
Wronskian[f,x]//Simplify

El Wronskiano es el determinante de la matriz formada por un conjunto de funciones y sus derivadas sucesivas. Si este determinante no es cero en algún punto, las funciones son linealmente independientes.

Conjunto generador

1. Determine si el conjunto 
S = {{{1, 1, 0}, {0, 1, 1}},
  {{1, 0, 1}, {1, 0, 0}},
  {{0, 1, 1}, {0, 1, 0}},
  {{1, 1, 1}, {1, 1, 1}}} 
genera el espacio de matrices M_{2x3}(R).

S={{1,1,0,0,1,1},{1,0,1,1,0,0},{0,1,1,0,1,0},{1,1,1,1,1,1}};
MatrixRank[S]

2. Sea 
T = {p1(x) = x^3 + x^2 + 1, 
     p2(x) = 2x^3 - x^2 + 1, 
     p3(x) = 4x^3 + a x^2 + 3}
donde a es un parámetro real. Determinar para qué valores de a el conjunto T genera un subespacio de dimensión máxima.

p1Vec={1,1,0,1};
p2Vec={2,-1,0,1};
p3Vec[a_]:={4,a,0,3};
Solve[α p1Vec+β p2Vec+γ p3Vec[a]=={0,0,0,0},{α,β,γ}]
Solve[α p1Vec+β p2Vec+γ p3Vec[1]=={0,0,0,0},{α,β,γ}]

3. Verificar si el vector (2,0,-1,8) pertenece al subespacio generado por v1,v2,v3

v1={2,1,-1,3};
v2={1,-2,2,1};
v3={3,0,1,-1};
b={2,0,-1,8};
Solve[α v1+β v2+γ v3==b,{α,β,γ}]

4. Encuentre una base para el subespacio W generado por 
   las matrices {{1,2},{3,1}}, {{2,1},{1,3}}, {{3,3},{4,4}}, {{1,-1},{2,-2}} 
   en M_2(R) y determine su dimensión.

A1={{1,2},{3,1}};
A2={{2,1},{1,3}};
A3={{3,3},{4,4}};
A4={{1,-1},{2,-2}};
vecs=Flatten/@{A1,A2,A3,A4};
mat=Transpose[vecs];
rr=RowReduce[mat];
pivots=First/@Position[Map[Max[Abs[#]]&,rr,{1}],_?Positive];
independentVectors=vecs[[pivots]];
basisMatrices=Partition[#,2]&/@independentVectors;
basisMatrices
Length[basisMatrices]

5. Determine si g(x)=3+2 Cos[2 x] pertenece al subespacio generado por f1(x)=Cos[x]^2,f2(x)=Sin[x]^2,f3(x)=Cos[2 x] en el espacio de funciones continuas

f1[x_]:=Cos[x]^2
f2[x_]:=Sin[x]^2
f3[x_]:=Cos[2 x]
g[x_]:=3+2 Cos[2 x]
Solve[α f1[x]+β f2[x]+γ f3[x]==g[x],{α,β,γ}]

Bases y dimensión

1. Ejercicio: Determine una base para el subespacio 
W = {(x, y, z, w) ∈ R^4 | 2x - y + z = 0 y x + y - w = 0} 
y calcule su dimensión.

sol=Solve[{2 x-y+z==0,x+y-w==0},{z,w}]
vec={x,y,z,w}/. sol[[1]]

2. Sea V el subespacio de M_3(R) de todas las matrices simétricas 3x3. 
Determine una base para V y su dimensión.

B={{{1,0,0},{0,0,0},{0,0,0}},(*E11*){{0,1,0},{1,0,0},{0,0,0}},(*E12+E21*){{0,0,1},{0,0,0},{1,0,0}},(*E13+E31*){{0,0,0},{0,1,0},{0,0,0}},(*E22*){{0,0,0},{0,0,1},{0,1,0}},(*E23+E32*){{0,0,0},{0,0,0},{0,0,1}}    (*E33*)}
Length[B]

3. Sea B = {1 + x, 1 - x, x^2} una base de P2(R). 
Determine las coordenadas del polinomio p(x) = 3 x^2 - 4 x + 2 respecto a esta base.

?Vector

B={1+x,1-x,x^2};
p=3 x^2-4 x+2;
VectorCoordenadas[{3,-4,2},{{0,1,1},{0,-1,1},{1,0,0}},3]

4. Sea S = {p1(x) = x^2 + a x + 1, p2(x) = x + a, p3(x) = x^2 + 1} en P2(R). 
¿Para qué valores de a el conjunto S es una base de P2(R)?

a=Symbol["a"];
Det[{{1,a,1},{0,1,a},{1,0,1}}]
Solve[%==0,a]

5. Complete el conjunto linealmente independiente 
L = { {{1,2},{0,1}}, {{0,1},{1,0}} } a una base de M2(R).

L={{1,2,0,1},{0,1,1,0}};
A3={{1,0},{0,0}};
A4={{0,0},{0,1}};
B=Join[{L[[1]],L[[2]]},{Flatten[A3],Flatten[A4]}]
MatrixRank[B]

Vector de coordenadas

1. Sea B = {(1,1,0), (1,0,1), (0,1,1)} una base de R^3. 
Determine las coordenadas del vector (3,2,1) respecto a B.

VectorCoordenadas[{3,2,1},{{1,1,0},{1,0,1},{0,1,1}},3]

2. Sea B = {1 + x, 1 - x, x^2} una base de P2(R). 
Determine las coordenadas del polinomio x^2 + 2 x + 3 respecto a B.

VectorCoordenadas[{1,2,3},{{0,1,1},{0,-1,1},{1,0,0}},3]

3. Sea B = { {{1,0},{0,0}}, {{0,1},{0,0}}, {{0,0},{1,0}}, {{0,0},{0,1}} } 
la base estándar de M_2(R). Determine las coordenadas de la matriz 
{{2,3},{1,4}} respecto a B.

A={{2,3},{1,4}};
Bbase={{{1,0},{0,0}},{{0,1},{0,0}},{{0,0},{1,0}},{{0,0},{0,1}}};
Bvecs=Flatten/@Bbase
VectorCoordenadas[Flatten[A],Bvecs,4]

4. En el subespacio W = { (x,y,z,w) ∈ R^4 / x + y = 0 } con base 
B = {(-1, 1, 0, 0), (0, 0, 1, 0), (0, 0, 0, 1)}. 
Determine las coordenadas de (-2, 2, 3, -1) respecto a B.

VectorCoordenadas[{-2,2,3,-1},{{-1,1,0,0},{0,0,1,0},{0,0,0,1}},3]

5. Sea B = {x - 1, (x - 1)^2, (x - 1)^3} una base del subespacio
V = {p(x) ∈ P3(R) : p(1) = 0}. Determine las coordenadas de 
x^3 - 3x^2 + 3x - 1 respecto a B.

VectorCoordenadas[{1,-3,3,-1},{{0,0,1,-1},{0,1,-2,1},{1,-3,3,-1}},3]

Completación de bases

1. Complete el conjunto L = {(1,0,1), (0,1,1)} a una base de R^3.

L={{1,0,1},{0,1,1}};
v={1,0,0};
B=Append[L,v]
Det[B]
CompletandoBase[L,3]

2. Complete el conjunto L = {x^2, x^3} a una base de P3(R).

L={{0,1,0,0},{1,0,0,0}};
extra={{0,0,1,0},{0,0,0,1}};
B=Join[extra,L]
MatrixRank[B]
CompletandoBase[L,4]

3. Complete el conjunto L = {{1,1},{0,0}}, {{0,0},{1,1}} a una base de M2(R).

L=Flatten/@{{{1,1},{0,0}},{{0,0},{1,1}}};
extra=Flatten/@{{{0,0},{1,0}},{{0,1},{0,0}}};
B=Join[L,extra]
MatrixRank[B]
baseMatrices=Partition[#,2]&/@B;
baseMatrices
CompletandoBase[L,4]

4. En el subespacio W = {(x, y, z, w) ∈ R^4 | x + y = 0, z - w = 0}, 
complete el conjunto L = {(-1, 1, 1, 1)} a una base de W.

L={{-1,1,1,1}};
extra={{-1,1,0,0}};
B=Join[L,extra]
MatrixRank[B]
CompletandoBase[L,2]

5. En el espacio de polinomios P2(R), complete el conjunto 
L = {x^2 + x, x - 1} a una base.

L={x^2+x,x-1};
extra={1};
B=Join[L,extra]
MatrixRank[{{1,1,0},{0,1,-1},{0,0,1}}]
CompletandoBase[{{1,1,0},{0,1,-1}},3]